Sonetto su un numero irrazionale

Sonetto sul fatto che se per un numero reale R vale che R+1/R è uguale a un numero dispari, allora R è irrazionale

Tra voi qualcuno se n'è mai accorto?

Si prenda dunque un numero reale.

Ma non a caso: lo si prenda tale

che, se sommato poi con il rapporto

di uno su di sé, si veda scorto

un risultato dispari. Morale:

quel numero non fu mai razionale.

Ciò si dimostra con poco sconforto

e per assurdo bene ragionando:

si pone il numero come frazione

d'interi, poi si calcola e si svolge.

È sempre strano questo mondo quando

il mondo si fa numero e ragione,

e il cuore si diverte e si sconvolge. 

Sonetto di aritmetica modulare

 Sonetto di aritmetica modulare

Si prendano due numeri, lì dove

le cifre son le stesse, ma in diverso

posto nell’uno e nell’altro. Traverso

poi delle facili e comode prove

si vede che si divide per nove

la loro differenza. L’universo

in cui si fa questo conto è riverso

in base dieci: ma val pure altrove,

in altre basi, con senno opportuno?

Se già si conta, dico, in base kappa

la divisione della differenza

è data qui per kappa meno uno?

O in altri mondi irrisolti si incappa?

Vi chiedo di mostrarmi l’evidenza.

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Con questo sonetto volevo rendervi partecipi del fatto che se prendete un qualsiasi numero naturale N di n cifre scritto in base 10, e poi prendete un altro numero naturale M di n cifre sempre scritto in base10 ottenuto permutando le cifre di N, la differenza N-M è divisibile per 9.

Per esempio, se N=7693 e M=3967, effettivamente (N-M)/9 = 414

Per dimostrarlo si osserva che un numero scritto in forma decimale è congruente, modulo 9, alla somma delle sue cifre; visto che M e N sono composti dalle stesse cifre, la differenza M-N è dunque zero, modulo 9.

Domanda: è vero che tutto si può generalizzare a una base qualsiasi, non solo decimale? Vale a dire, se due numeri M e N sono scritti in base k, la loro differenza sarà divisibile per k-1?